Pochet az angyalok draftolták az 1986-os draft második körében. 1989-ben debütált az Angels csapatában, és a következő három szezon nagy részét a csapatnál töltötte. 1992-ben a Redshez cserélték, ahol a következő négy szezont töltötte. 1996-ban a Padres csapatában fejezte be főbajnoki pályafutását.
Összességében a Poche 53–52-es rekordot ért el 4,26 ERA-val 157 pályafutása során. 535 ütőt ütött ki 923 inning alatt.
Miután visszavonult a baseballtól, Poche dobóedző lett. Dolgozott az Angels, a Reds és a Seattle Mariners kisebb bajnoki rendszerében. Jelenleg a Louisville Bats, a Cincinnati Reds Triple-A leányvállalatának edzőedzője.