Begay Tuba Cityben, Arizonában született 1954. január 11-én. A navajo rezervátumban nőtt fel, ahol szüleitől és nagyszüleitől tanult a hagyományos navajo kultúráról. Begay fiatalon kezdett rajzolni és festeni, és hamarosan rájött, hogy van tehetsége a művészethez.
A középiskola elvégzése után Begay művészetet tanult az Amerikai Indián Művészetek Intézetében, Santa Fében, Új-Mexikóban. Ezután az Arizonai Egyetemre járt, ahol Bachelor of Fine Arts fokozatot szerzett.
Begay festményei számos témát ábrázolnak, beleértve a navahó szertartásokat, rituálékat és a mindennapi életet. Munkásságát élénk színei, bonyolult mintái és erős spiritualitásérzete jellemzi. Begay festményeit dicséretben részesítették szépségükért, kulturális jelentőségükért és képességükért, hogy megragadják a navajo élet lényegét.
Begay munkáit múzeumokban és galériákban állították ki világszerte, köztük a Smithsonian Institutionban, a Heard Múzeumban és a Modern Művészeti Múzeumban. Számos díjat is kapott, köztük a National Endowment for the Arts Fellowship-et, az Arizona Governor's Arts Awardot és a Native American Art Awards-t.
Begay munkája továbbra is inspirálja és oktatja a nézőket a navajo kultúráról. Nemzedékének egyik legfontosabb indián művészeként tartják számon.
Begay rákban halt meg 2012. augusztus 17-én az arizonai Tuba Cityben. 58 éves volt.